المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية — التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين

شرح ومحتوى الدرس

تتناول هذه الوحدة التوزيعات الاحتمالية المنفصلة، وتحديدًا التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين. تبدأ بتعريف تجربة بيرنولي، وهي تجربة عشوائية لها ناتجان فقط: نجاح وفشل. ثم تنتقل إلى التجربة الاحتمالية الهندسية، التي تتكرر فيها محاولات بيرنولي المستقلة حتى تحقيق أول نجاح، وتشترط أربعة شروط: استقلالية المحاولات، ونتيجتين متنافيتين لكل محاولة، وثبات احتمال النجاح، والتوقف عند أول نجاح. ويُعرَّف المتغير العشوائي الهندسي بأنه عدد المحاولات حتى أول نجاح، وتُعطى دالة التوزيع الاحتمالي الهندسي بالصيغة: ل(س=ن) = (1-ح)^(ن-1) × ح. كما تُعرض قوانين التوقع (المتوسط) والتباين والانحراف المعياري للتوزيع الهندسي. بعد ذلك، تنتقل الوحدة إلى توزيع ذي الحدين، الذي يصف عدد النجاحات في عدد محدد من المحاولات المستقلة، بنفس شروط التجربة الهندسية مع إضافة شرط ثبات عدد المحاولات. وتعطى دالة التوزيع لذي الحدين بالصيغة: ل(س=ر) = ق(ن، ر) × ح^ر × (1-ح)^(ن-ر). وتُعرض قوانين التوقع (المتوسط) والتباين والانحراف المعياري لهذا التوزيع. وتستخدم الوحدة أمثلة متنوعة من الحياة الواقعية مثل رمي العملات، وحجر النرد، وفحص القطع الإلكترونية، ومكالمات خدمة العملاء، والتسويق الهاتفي، والتسليم في الوقت المحدد، وإصلاح الأجهزة، والبريد الإلكتروني المزعج، ونمو البذور، والتصويت، والتبرعات، وإيجاد موقف للسيارة، وإصلاح الآلات، والموافقات التنظيمية. وفي نهاية الوحدة، يُتوقع من الطالب أن يكون قادرًا على: التمييز بين التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين، وحساب الاحتمالات باستخدام دالتي التوزيع، وحساب التوقع والتباين والانحراف المعياري لكل منهما، وحل مسائل تطبيقية من الحياة اليومية.