الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها — الدالة الأسية وتطبيقاتها

شرح ومحتوى الدرس

تتناول هذه الوحدة مفهوم الدالة الأسية وخواصها وتمثيلها البياني، مع التركيز على تطبيقاتها الحياتية مثل الفوائد البنكية، التزايد السكاني، تضاعف الخلايا، وفترات عمر النصف للذرات المشعة. تبدأ الوحدة بتعريف الدالة الأسية على أنها دالة يكون فيها المتغير المستقل هو الأس وليس الأساس، مع شرط أن يكون الأساس عددًا حقيقيًا موجبًا لا يساوي الواحد. ثم تعرض خواص الدالة الأسية من خلال التمثيل البياني، حيث تكون الدالة متزايدة إذا كان الأساس أكبر من واحد، ومتناقصة إذا كان الأساس بين صفر وواحد، ويكون مداها دائمًا الأعداد الحقيقية الموجبة. كما توضح العلاقة بين منحنيات الدوال الأسية ذات الأساسات المتباينة، مثل انعكاس منحنى دالة أساسها (أكبر من 1) حول محور الصادات للحصول على دالة أساسها كسر بين صفر وواحد. وتختتم الوحدة بتمارين متنوعة تتطلب رسم الدوال الأسية وتحديد المجال والمدى واتجاه التزايد أو التناقص، بالإضافة إلى إيجاد نقاط تقاطع المنحنى مع محور الصادات وحل معادلات أسية بسيطة. في نهاية الوحدة، ينبغي أن يكون الطالب قادرًا على تعريف الدالة الأسية، وتمييزها عن الدوال الأخرى، ورسم منحنياتها، وتحديد خواصها من الرسم، وحل مسائل تطبيقية تتضمن نموًا أو تضائلًا أسيًا.